[:ru]Актуальность проекта.

Неклассические уравнения математической физики являются одним из интенсивно развивающихся разделов теории уравнений в частных производных. К неклассическим уравнениям относятся уравнения, не являющиеся классическими, такие как уравнения смешанного типа, вырождающиеся уравнения эллиптического, параболического, гиперболического типа, интегральные и дифференциальные уравнения дробного порядка, смешанно-составного типа, уравнения составного типа, дифференциальные уравнения высших порядков и т.д.

В рамках реализации проекта планируется исследование корректности ряда новых задач для многомерного вырождающегося дифференциального уравнения эллиптического типа. В последнее время вырождающиеся уравнения вызывают интерес в связи с активным применением в моделировании таких физических процессов, где граница области существенно влияет на возникающие рядом с ее областью явления. В таких случаях при переходе из одной части области в другую могут меняться не только тип уравнения, но и его порядок. Такого рода уравнения используют при моделировании явления фильтрации идеального баротропного газа из неоднородной анизотропной пористой среды, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, в частности, в ходе выдавливания нефти из пористых сред посредством воды и др.

Во многих физических явлениях на фактическое развитие системы влияют прошлые значения переменных. Правильное моделирование этого явления естественным образом приводит к дифференциальным уравнениям, так называемым уравнениям с памятью, где термин памяти возникает как свертка времени неизвестной функции относительно подходящего ядра памяти. Нелокальный характер таких моделей представляет собой сложную задачу анализа уравнений с памятью, которая недостаточно изучалась в течение многих десятилетий. Нашей целью будет попытка перевести задачу для интегро-дифференциального уравнения с памятью в решение обыкновенного дифференциального уравнения.

Уравнения с памятью тесно связаны с гиперболическими уравнениями третьего порядка. Так, следующим этапом осуществления проекта будет исследование волновых процессов в средах, характеризующихся наличием дисперсии поглощения. К этому кругу вопросов относится, в частности, изучение акустических волн в средах, где распространение волны нарушает состояние термодинамического или механического равновесия. Среда, выведенная из состояния равновесия, стремится вновь к нему вернуться, но уже при новых, измененных волной значениях параметров.

Цель проекта.

Основной целью проекта является постановка и исследование вопросов разрешимости новых локальных и нелокальных краевых задач для неклассических уравнений математической физики различных типов, а также разработка методов построения решений данных задач.

№	Ожидаемые результаты (за 2022г.)	Достигнутые результаты (за 2022г.)
2.	В течение данного периода будут изучены вопросы разрешимости краевых задач с локальными и нелокальными условиями для неклассических уравнений математической физики эллиптического, гиперболического и смешанного типов.	Ведется работа по изучению вопроса разрешимости краевых задач с локальными и нелокальными условиями для неклассических уравнений математической физики эллиптического, гиперболического и смешанного типов. Формулировка корректной постановки нелокальных задач для гиперболического уравнения второго порядка. Нахождение условий, обеспечивающих регулярную и сильную разрешимость сформулированных задач. Доказывается существование и единственность решения локальных задач для вырождающегося эллиптического уравнения.
2.1	Будет доказано существование и единственность решения первой смешанной задачи для  гиперболического уравнения с памятью.	Доказано существование и единственность решения первой смешанной задачи для гиперболического равнения с памятью. Сформулирована постановка первой смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения с памятью и доказаны теоремы существования и единственности решениия задач. Построены разностные аналоги вышеприведенной смешанной задачи. Исследованы вопросы сходимости и устойчивости противопоточной разностной схемы для гиперболического уравнения с памятью. Проведены вычислительные эксперименты.
2.2	Будут исследованы решения краевых задач для гиперболического уравнения третьего порядка в характеристическом треугольнике.	Исследованы решения краевых задач для гиперболического уравнения третьего порядка в характеристическом треугольнике. Изучены вопросы разрешимости ряда локальных задач для гиперболического уравнения третьего порядка, когда вся граница области является характеристикой данного уравнения. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости задачи типа Дирихле для вышеприведенного уравнения. Приведены примеры, показывающие существенность найденных условий для однозначной разрешимости задачи.
2.3	Изучение разрешимости локальной задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения дробного порядка в характеристическом треугольнике.	Ведется работа по изучению разрешимость локальной задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения дробного порядка в характеристическом треугольнике. Исследованы свойства аналога первой краевой задачи параболической части области для смешанного параболо-гиперболического уравнения дробного порядка. Найдены достаточные условия на данные задачи, которые обеспечивают существование и единственность решения сформулированных задач.

 Состав исследовательской группы:

№	Ф.И.О.	Позиция	Ученая степень
1	Байшемиров Жарасбек Дуйсембекович.	руководитель проекта, ГНС	PhD, ассоц.проф., . Scopus AU-ID: 55817472800; ORCID: 0000-0002-4812-4104 Web of Science Researcher ID:  AAD-8778-2021
2	Ахтаева НазгульСмайлхановна.	Главный научный сотрудник (ГНС)	PhD, и.о. ассоц.проф. Scopus AU-ID: 55755778000
3	Рысқан Айнұр Рысқанқызы.	Научный сотрудник (НС)	PhD, ст.преп. Scopus AU-ID: 57209534432 ORCID: 0000-0002-8764-4751
4	Абдираманов Жанарс Алда-Онгарович.	Научный сотрудник (НС)	PhD докторант. Scopus AU-ID: 57219802387
5	Баймурзаев Джомарт Джумаханович.	Научный сотрудник (НС)	магистр.
6	Адил Наурызбай.	Научный сотрудник (НС)	PhD докторант.

Список публикаций за 2022.

1. Baishemirov Zh., Berdyshev A., Ryskan A. Solution of a Boundary Value Problem with Mixed Conditions for a Four-Dimensional Degenerate Elliptic Equation. // Mathematics. 2022. 10(7), 1094; База: Scopus, SJR – 0,495, CiteScore–2,2; Percentile – 80. База: Web of Science IF – 2,258; Q1. https://doi.org/10.3390/math10071094
2. Adil N., Berdyshev A.,Eshmatov B., Baishemirov Zh. Solvability and Volterra property of nonlocal problems for mixed fractional order diffusion-wave equation. // Boundary Value Problem. База: Web of Science IF – 1,793; Q1. (Сдано в печать).
3. Бердышев А.С., Абдираманов Ж.А. Разностный аналог смешанной задачи для гиперболического уравнения с памятью // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 39.
4. Адил Н., БердышевС., Эшматов Б.Э. Разрешимость нелокальной задачи для волнового уравнения дробного порядка // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 62.
5. Бердышев А.С., Абдираманов Ж.А., Шавкаева Э.Э. Задачи с условием Бицадзе-Самарского для линейного гиперболического уравнения с памятью // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 93.

[:en]The relevance of the project.

Non-classical equations of mathematical physics are one of the intensively developing sections of the theory of partial differential equations. Non-classical equations include equations that are not classical, such as mixed-type equations, degenerate equations of elliptic, parabolic, hyperbolic type, integral and differential equations of fractional order, mixed-composite type, composite type equations, higher-order differential equations, etc.
Within the framework of the project, it is planned to study the correctness of a number of new problems for a multidimensional degenerate elliptic differential equation. Recently, degenerate equations have aroused interest in connection with the active use in modeling of such physical processes, where the boundary of the domain significantly affects the phenomena occurring next to its domain. In such cases, when moving from one part of the domain to another, not only the type of equation may change, but also its order. Such equations are used in modeling the phenomenon of filtration of an ideal barotropic gas from an inhomogeneous anisotropic porous medium, filtration processes of two-phase liquids, in particular, during the extrusion of oil from porous media by water, etc.
In many physical phenomena, the actual development of the system is influenced by past values of variables. Correct modeling of this phenomenon naturally leads to differential equations, the so-called memory equations, where the memory term arises as a convolution of the time of an unknown function relative to a suitable memory core. The non-local nature of such models is a complex task of analyzing equations with memory, which has not been sufficiently studied for many decades. Our goal will be an attempt to translate the problem for an integro-differential equation with memory into the solution of an ordinary differential equation.
Memory equations are closely related to hyperbolic equations of the third order. Thus, the next stage of the project will be the study of wave processes in media characterized by the presence of absorption dispersion. This range of issues includes, in particular, the study of acoustic waves in media where wave propagation violates the state of thermodynamic or mechanical equilibrium. The medium, brought out of the equilibrium state, tends to return to it again, but already with new values of parameters changed by the wave.

The purpose of the project.

The main goal of the project is to formulate and study the solvability of new local and non-local boundary value problems for non-classical equations of mathematical physics of various types, as well as to develop methods for constructing solutions to these problems.

№	Expected results (for 2022)	Achieved results (for 2022)
2.	During this period, the solvability of boundary value problems with local and non-local conditions for non-classical equations of mathematical physics of elliptic, hyperbolic and mixed types will be studied.	Work is underway to study the solvability of boundary value problems with local and non-local conditions for non-classical equations of mathematical physics of elliptic, hyperbolic and mixed types. Formulation of the correct formulation of nonlocal problems for a second-order hyperbolic equation. Finding conditions that ensure regular and strong solvability of the formulated problems. The existence and uniqueness of the solution of local problems for a degenerate elliptic equation is proved.
2.1	The existence and uniqueness of the solution of the first mixed problem for a hyperbolic equation with memory will be proved.	The existence and uniqueness of the solution of the first mixed problem for a hyperbolic equation with memory is proved. The formulation of the first mixed boundary value problem for a hyperbolic equation with memory is formulated and the theorems of the existence and uniqueness of the solution of the problems are proved. Difference analogues of the above mixed problem are constructed. The issues of convergence and stability of a counterflow difference scheme for a hyperbolic equation with memory are investigated. Computational experiments have been carried out.
2.2	Solutions of boundary value problems for a third-order hyperbolic equation in a characteristic triangle will be investigated.	Solutions of boundary value problems for a third-order hyperbolic equation in a characteristic triangle are investigated. The issues of solvability of a number of local problems for a hyperbolic equation of the third order, when the entire boundary of the domain is a characteristic of this equation, are studied. Sufficient conditions for unambiguous solvability of the Dirichlet type problem for the above equation are found. Examples are given showing the significance of the conditions found for the unambiguous solvability of the problem.
2.3	Study of the solvability of a local problem for a mixed parabolic-hyperbolic equation of fractional order in a characteristic triangle.	Work is underway to study the solvability of a local problem for a mixed parabolic-hyperbolic fractional order equation in a characteristic triangle. The properties of an analogue of the first boundary value problem of the parabolic part of the domain for a mixed parabolic-hyperbolic equation of fractional order are investigated. Sufficient conditions have been found for these problems, which ensure the existence and uniqueness of the solution of the formulated problems.

Composition of the research group:

№	Full name	Position	Academic degree
1	Байшемиров Жарасбек Дуйсембекович.	руководитель проекта, ГНС	PhD, ассоц.проф., . Scopus AU-ID: 55817472800; ORCID: 0000-0002-4812-4104 Web of Science Researcher ID:  AAD-8778-2021
2	Ахтаева НазгульСмайлхановна.	Главный научный сотрудник (ГНС)	PhD, и.о. ассоц.проф. Scopus AU-ID: 55755778000
3	Рысқан Айнұр Рысқанқызы.	Научный сотрудник (НС)	PhD, ст.преп. Scopus AU-ID: 57209534432 ORCID: 0000-0002-8764-4751
4	Абдираманов Жанарс Алда-Онгарович.	Научный сотрудник (НС)	PhD докторант. Scopus AU-ID: 57219802387
5	Баймурзаев Джомарт Джумаханович.	Научный сотрудник (НС)	магистр.
6	Адил Наурызбай.	Научный сотрудник (НС)	PhD докторант.

List of publications for 2022.
1. Baishemirov Zh., Berdyshev A., Ryskan A. Solution of a Boundary Value Problem with Mixed Conditions for a Four-Dimensional Degenerate Elliptic Equation. // Mathematics. 2022. 10(7), 1094; Base: Scopus, SJR – 0.495, CiteScore–2.2; Percentile – 80. Database: Web of Science IF – 2,258; Q1. https://doi.org/10.3390/math10071094
2. Adil N., Berdyshev A.,Eshmatov B., Baishemirov Zh. Solvability and Volterra property of nonlocal problems for mixed fractional order diffusion-wave equation. // Boundary Value Problem. Database: Web of Science IF – 1,793; Q1. (Printed).
3. Berdyshev A.S., Abdiramanov J.A. A difference analogue of a mixed problem for a hyperbolic equation with memory // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 39.
4. Adil N., Berdyshev A.S., Eshmatov B.E. Solvability of a nonlocal problem for a fractional order wave equation // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 62.
5. Berdyshev A.S., Abdiramanov Zh.A., Shavkaeva E.E. Problems with the Bitsadze-Samarsky condition for a linear hyperbolic equation with memory // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.- P. 93.[:kk]Жобаның өзектілігі.

Математикалық физиканың классикалық емес теңдеулері дербес туындылардағы теңдеулер теориясының қарқынды дамып келе жатқан бөлімдерінің бірі. Классикалық емес теңдеулерге классикалық болып саналмайтын теңдеулер жатады, мысалы, аралас типті теңдеулер, эллиптикалық, параболалық, гиперболалық типтердің азғындалған теңдеулері, бөлшек тәртіпті интегралдық және дифференциалдық теңдеулер, құрамдас және аралас-құрамдас типті теңдеулер, жоғары дәрежелі дифференциалдық теңдеулер және т.б. жатады.

Жоба аясында эллиптикалық типтегі көп өлшемді өзгешеленетін дифференциалдық теңдеу үшін бірқатар жаңа есептердің дұрыстығын зерттеу жоспарлануда. Аймақ шекарасы, шекара маңында болып жатқан процестерге әсер ететін физикалық процестерді модельдеуді белсенді қолданудың салдарынан, азғындалған теңдеулерге қызығушылық артты. Осындай жағдайда аймақтың бір бөлігінен екіншісіне өткен кезде теңдеулер түрі де, олардың реті де өзгеруі мүмкін. Мұндай теңдеулер біртекті емес анизотропты кеуекті ортадағы идеалды баротропты газды сүзу процестерін, екі фазалы сұйықтықтарды сүзу процестерін, сонымен қатар, мұнайды кеуекті ортадан су көмегімен ығыстыру процестерін және т.б. модельдеуде қолданылады.

Көптеген физикалық құбылыстарда, айнымалылардың алдыңғы мәні жүйенің нақты дамуына әсер етеді. Бұл құбылысты дұрыс модельдеу жады бар теңдеулер деп аталатын дифференциалдық теңдеулерге әкеледі. Ондағы жады термині сәйкес келетін ядро жадына қатысты белгісіз функция уақытының жинақталуы ретінде пайда болады. Мұндай модельдердің локальды емес сипаттамасы ондаған жылдар бойы жеткілікті зерттелмеген жады бар теңдеулерді талдауға арналған күрделі есеп түрінде болып келеді. Біздің мақсатымыз жады бар интегро-дифференциалдық теңдеудің есептерін қарапайым дифференциалдық теңдеудің шешіміне келтіру болып табылады.

Жады бар теңдеулер үшінші ретті гиперболалық теңдеулермен тығыз байланысты. Сонымен, жобаның келесі кезеңі абсорбциялық дисперсияның болуымен сипатталатын толқындық процестерді зерттеу болады. Мәселелердің бұл спектріне, атап айтқанда, толқындардың таралуы термодинамикалық немесе механикалық тепе-теңдік күйін бұзатын ортадағы акустикалық толқындарды зерттеу кіреді.Тепе-теңдіктен шығарылған орта тек параметрлердің жаңа өзгертілген  толқындық мәндерімен оған қайтадан оралуға бейімделінеді.

Жобаның мақсаты.

Жобаның негізгі мақсаты — әр түрлі типтегі математикалық физиканың классикалық емес теңдеулері үшін жаңа локалды және локалды емес шекаралық есептердің шешілу мәселелерін қою және зерттеу, сондай-ақ осы есептерді шешудің тәсілдерін жасау.

№	Күтілетін нәтижелер (2022ж.)	Алынған нәтижелер (2022ж.)
2.	Осы кезеңде эллиптикалық, гиперболалық және аралас типтегі математикалық физиканың классикалық емес теңдеулері үшін локальді және локальді емес шарттарымен шекаралық есептердің шешілу мәселелері зерттелетін болады	Эллиптикалық, гиперболалық және аралас типтегі математикалық физиканың классикалық емес теңдеулері үшін жергілікті және жергілікті емес шарттармен шекаралық есептердің шешілу мүмкіндігін зерттеу бойынша жұмыс жүргізілуде. Екінші ретті гиперболалық теңдеу үшін локалды емес есептердің дұрыс тұжырымын құру жүргізілуде . Тұжырымдалған есептердің тұрақты және күшті шешілуін қамтамасыз ететін шарттар табылды. Азғындалған эллиптикалық теңдеу үшін жергілікті есептерді шешудің бар болуы және бірегейлігі дәлелденді.
2.1	Жады бар гиперболалық типтегі теңдеу үшін бірінші аралас есеп шешімінің жалғыздығы және бар болуы дәлелденеді.	Жады бар гиперболалық теңдеу үшін бірінші аралас есептің шешімі бар және бірегейлігі дәлелденді. Жады бар гиперболалық теңдеу үшін бірінші аралас шекаралық есептің тұжырымы тұжырымдалып, есептерді шешуге арналған болмыс пен бірегейлік теоремалары дәлелденді. Жоғарыда келтірілген аралас есептің айырықша аналогтары құрастырылған. Жады бар гиперболалық теңдеу үшін желге қарсы айырым схемасының конвергенция және тұрақтылық мәселелері зерттелді. Есептеу эксперименттері жүргізілді.
2.2	Сипаттаушы үшбұрышта үшінші ретті гиперболалық теңдеу үшін шеттік есептердің шешімдері зерттеледі.	Сипаттамалық үшбұрыштағы үшінші ретті гиперболалық теңдеу үшін шекаралық есептердің шешімдері зерттелді. Облыстың барлық шекарасы осы теңдеудің сипаттамасы болған кезде үшінші ретті гиперболалық теңдеу үшін бірқатар локалды есептердің шешімін табу сұрақтары зерттелді. Жоғарыда келтірілген теңдеу үшін Дирихле типті есептің бірегей шешіміне локалды шарттар табылды. Есептің бірегей шешімі үшін табылған шарттардың маңыздылығын көрсететін мысалдар келтірілді.
2.3	Сипаттаушы үшбұрыштағы бөлшек ретті аралас параболалық-гиперболалық теңдеу үшін локалды есептердің шешімінің бар болуы зерттеледі.	Сипаттамалық үшбұрышта бөлшек ретті аралас параболалық-гиперболалық теңдеу үшін локалды есептің шешілу мүмкіндігін зерттеу жұмыстары жүргізілуде. Бөлшек ретті аралас параболалық-гиперболалық теңдеу үшін облыстың параболалық бөлігінің бірінші шекаралық есебінің аналогының қасиеттері зерттеледі. Тұжырымдалған мәселелердің шешімін бар болуы мен бірегейлігін қамтамасыз ететін бұл мәселелерге жеткілікті шарттар табылған.

Зерттеу тобының құрамы:

№	Аты-жөні	Ұстанымы	Ғылыми дәрежесі
1	Байшемиров Жарасбек Дуйсембекович.	Жетекшісі (ЖҒҚ)	PhD, ассоц.проф., . Scopus AU-ID: 55817472800; ORCID: 0000-0002-4812-4104 Web of Science Researcher ID:  AAD-8778-2021
2	Ахтаева НазгульСмайлхановна.	жетекші ғылыми қызметкер	PhD, и.о. ассоц.проф. Scopus AU-ID: 55755778000
3	Рысқан Айнұр Рысқанқызы.	аға ғылыми қызметкер	PhD, ст.преп. Scopus AU-ID: 57209534432 ORCID: 0000-0002-8764-4751
4	Абдираманов Жанарс Алда-Онгарович.	аға ғылыми қызметкер	PhD докторант. Scopus AU-ID: 57219802387
5	Баймурзаев Джомарт Джумаханович.	аға ғылыми қызметкер	магистр.
6	Адил Наурызбай.	аға ғылыми қызметкер	PhD докторант.

2022 жылғы басылымдар тізімі.

1. Baishemirov Zh., Berdyshev A., Ryskan A. Solution of a Boundary Value Problem with Mixed Conditions for a Four-Dimensional Degenerate Elliptic Equation. // Mathematics. 2022. 10(7), 1094; База: Scopus, SJR – 0,495, CiteScore–2,2; Percentile – 80. База: Web of Science Core Collection IF – 2,258; Q1. https://doi.org/10.3390/math10071094
2. Adil N., Berdyshev A.,Eshmatov B., Baishemirov Zh. Solvability and Volterra property of nonlocal problems for mixed fractional order diffusion-wave equation. // Boundary Value Problem. База: Web of Science Core Collection IF – 1,793; Q1. (Сдано в печать).
3. Бердышев А.С., Абдираманов Ж.А. Разностный аналог смешанной задачи для гиперболического уравнения с памятью // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 39.
4.  Адил Н., БердышевС., Эшматов Б.Э. Разрешимость нелокальной задачи для волнового уравнения дробного порядка // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 62.
5.  Бердышев А.С., Абдираманов Ж.А., Шавкаева Э.Э. Задачи с условием Бицадзе-Самарского для линейного гиперболического уравнения с памятью // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 93.

[:]