Актуальность проекта: Исследования по построению и усовершенствованию разностных схем, по доказательству устойчивости и изучению сходимости решения ведутся в крупных научных центрах и высших учебных заведениях мира (в частности США, Великобритания, Германия, Франция, Италия, Норвегия, Нидерланды, Испания, Россия).
В результате современных проведенных научных исследований в мире для вычисления разрывных решений квазилинейных систем уравнений по построению разностных схем, доказательству их сходимости получен целый ряд нетрадиционных научных результатов: обоснован метод “замороженных коэффициентов” для разностных схем, развит энергетический метод исследования устойчивости Институт вычислительной математики Российской академии наук (ИВМ РАН); с учетом критерия монотонности разработан алгоритм построения нелинейных, монотонных схем высокого порядка аппроксимации для уравнений и систем гиперболического типа, основанный на использовании метода неопределенных коэффициентов (Институт автоматизации проектирования РАН); для гиперболических систем с постоянными коэффициентами на движущейся области, применяя энергетический метод, получена априорная оценка для решения смешанной задачи; после соответствующей замены переменных получена гиперболическая система уравнений с переменными коэффициентами. С помощью операторов суммирования по частям (Summation-by-Parts) по пространственным координатам получена устойчивая разностная схема. (Швеция, Linköping University); создана теория для однородных краевых задач с постоянными и переменными коэффициентами, построена строгая теория устойчивости для определенных краевых задач (Adelphy College, Garden City, Brookhaven National laboratories, Upton, Нью-Йорк, США; University of Uppsala, Швеция); исследованы корректности прямых и обратных задач для одномерных нелинейных уравнений гиперболического типа (Logo Alpen Adria Universität); для построения устойчивых решений смешанной задачи двумерной линейной гиперболической системы (в случае переменных коэффициентов и с младшими членами) создана функция Ляпунова, и получена априорная оценка для неё (University Pierre et Marie Curie, Париж, Universitè catholique Louvain, Louvain-La-Neuve, Бельгия); построены консервативные разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений и систем уравнений, для которых выполнен аналог этого закона (Fudan University, Shanghai, Китай); для нелинейных гиперболических систем, представляемых в специальном виде, построена адекватная вычислительная модель, в которой доказательство теоремы об устойчивости разносных схем основывается на построении дискретного интеграла энергии (Институт математики Сибирского отделения Российской академии наук; Национальный университет Узбекистана).
На сегодня в мире широко осуществляются научно-исследовательские работы в приоритетных направлениях, в том числе: разработка методов приближенного решения смешанных задач на линейных двумерных и более-мерных гиперболических системах с переменными коэффициентами; исследование устойчивость вычислительных методов для численного решения смешанных задач для квазилинейных гиперболических систем.
Устойчивость как основное свойство разностных схем, является самостоятельной областью исследования. В настоящее время для линейных задач математической физики достаточно полно разработана теория разностных схем. Монотонные разностные схемы играют важную роль при численном решении систем уравнений гиперболического типа.
До сегодняшнего дня ещё не рассматривался вопрос разработки численного метода, с помощью которого можно провести численный расчет смешанной задачи граничного управления гиперболическими системами. Это и есть основная задача настоящего проекта. Учет управления достигается с помощью введения функции управления в граничных условиях, т.е., так называемым способом граничного управления устойчивости. Все вышеперечисленное обуславливает актуальность проекта.
Цель проекта: Целью проекта является разработка численных методов, с помощью которых можно провести численный расчет смешанной задачи граничного управления симметрической t-гиперболической системой с диссипативными граничными условиями. Это достигается с помощью введения функции управления в граничных условиях, т.е так называемым способом граничного управления.
Опубликованы статьи в журналах (Список публикации)
- Berdyshev A, Aloev R, Abdiramanov Z, Ovlayeva M. An Explicit–Implicit Upwind Difference Splitting Scheme in Directions for a Mixed Boundary Control Problem for a Two-Dimensional Symmetric t-Hyperbolic System / Symmetry 2023, 15, (10):1863. (WoS: CiteScore — Q1 (General Mathematics); Scopus – 93) https://doi.org/10.3390/sym15101863
- Abdiramanov Zh., Berdyshev A., Aloev R. Investigation of the exponential stability of a numerical solution of a mixed problem for the shallow water equation. 5th International Conference on Problems of Cybernetics and Informatics (PCI 2023). Abstracts, pp. 119-120. Baku, Azerbaidzhan.
- Абдираманов Ж., Бердышев А. Устойчивость численного решения разностной задачи для уравнения Сен-Венана. Тезисы докладов VII Всемирного Конгресса математиков тюркского мира (TWMS Congress-2023). с. 457. 20-23 сентября 2023 г. Туркестан, Казахстан.
Сделаны выступления на следующих международных научных форумах:
— Международной конференции “5th International Conference on Problems of Cybernetics and Informatics (PCI 2023)”. 28–30 августа 2023 г. г. Баку, Азербайджан;
— VII Всемирном Конгрессе математиков тюркского мира (TWMS Congress-2023). 20-23 сентября 2023 г. Туркестан, Казахстан.