Актуальность проекта.
Неклассические уравнения математической физики являются одним из интенсивно развивающихся разделов теории уравнений в частных производных. К неклассическим уравнениям относятся уравнения, не являющиеся классическими, такие как уравнения смешанного типа, вырождающиеся уравнения эллиптического, параболического, гиперболического типа, интегральные и дифференциальные уравнения дробного порядка, смешанно-составного типа, уравнения составного типа, дифференциальные уравнения высших порядков и т.д.
В рамках реализации проекта планируется исследование корректности ряда новых задач для многомерного вырождающегося дифференциального уравнения эллиптического типа. В последнее время вырождающиеся уравнения вызывают интерес в связи с активным применением в моделировании таких физических процессов, где граница области существенно влияет на возникающие рядом с ее областью явления. В таких случаях при переходе из одной части области в другую могут меняться не только тип уравнения, но и его порядок. Такого рода уравнения используют при моделировании явления фильтрации идеального баротропного газа из неоднородной анизотропной пористой среды, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, в частности, в ходе выдавливания нефти из пористых сред посредством воды и др.
Во многих физических явлениях на фактическое развитие системы влияют прошлые значения переменных. Правильное моделирование этого явления естественным образом приводит к дифференциальным уравнениям, так называемым уравнениям с памятью, где термин памяти возникает как свертка времени неизвестной функции относительно подходящего ядра памяти. Нелокальный характер таких моделей представляет собой сложную задачу анализа уравнений с памятью, которая недостаточно изучалась в течение многих десятилетий. Нашей целью будет попытка перевести задачу для интегро-дифференциального уравнения с памятью в решение обыкновенного дифференциального уравнения.
Уравнения с памятью тесно связаны с гиперболическими уравнениями третьего порядка. Так, следующим этапом осуществления проекта будет исследование волновых процессов в средах, характеризующихся наличием дисперсии поглощения. К этому кругу вопросов относится, в частности, изучение акустических волн в средах, где распространение волны нарушает состояние термодинамического или механического равновесия. Среда, выведенная из состояния равновесия, стремится вновь к нему вернуться, но уже при новых, измененных волной значениях параметров.
Цель проекта.
Основной целью проекта является постановка и исследование вопросов разрешимости новых локальных и нелокальных краевых задач для неклассических уравнений математической физики различных типов, а также разработка методов построения решений данных задач.
| № | Ожидаемые результаты (за 2022г.) | Достигнутые результаты (за 2022г.) |
| 2. | В течение данного периода будут изучены вопросы разрешимости краевых задач с локальными и нелокальными условиями для неклассических уравнений математической физики эллиптического, гиперболического и смешанного типов. | Ведется работа по изучению вопроса разрешимости краевых задач с локальными и нелокальными условиями для неклассических уравнений математической физики эллиптического, гиперболического и смешанного типов. Формулировка корректной постановки нелокальных задач для гиперболического уравнения второго порядка. Нахождение условий, обеспечивающих регулярную и сильную разрешимость сформулированных задач. Доказывается существование и единственность решения локальных задач для вырождающегося эллиптического уравнения. |
| 2.1 | Будет доказано существование и единственность решения первой смешанной задачи для гиперболического уравнения с памятью.
| Доказано существование и единственность решения первой смешанной задачи для гиперболического равнения с памятью. Сформулирована постановка первой смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения с памятью и доказаны теоремы существования и единственности решениия задач. Построены разностные аналоги вышеприведенной смешанной задачи. Исследованы вопросы сходимости и устойчивости противопоточной разностной схемы для гиперболического уравнения с памятью. Проведены вычислительные эксперименты. |
| 2.2 | Будут исследованы решения краевых задач для гиперболического уравнения третьего порядка в характеристическом треугольнике. | Исследованы решения краевых задач для гиперболического уравнения третьего порядка в характеристическом треугольнике. Изучены вопросы разрешимости ряда локальных задач для гиперболического уравнения третьего порядка, когда вся граница области является характеристикой данного уравнения. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости задачи типа Дирихле для вышеприведенного уравнения. Приведены примеры, показывающие существенность найденных условий для однозначной разрешимости задачи. |
| 2.3 | Изучение разрешимости локальной задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения дробного порядка в характеристическом треугольнике. | Ведется работа по изучению разрешимость локальной задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения дробного порядка в характеристическом треугольнике. Исследованы свойства аналога первой краевой задачи параболической части области для смешанного параболо-гиперболического уравнения дробного порядка. Найдены достаточные условия на данные задачи, которые обеспечивают существование и единственность решения сформулированных задач. |
Состав исследовательской группы:
| № | Ф.И.О. | Позиция | Ученая степень |
| 1 | Байшемиров Жарасбек Дуйсембекович. | руководитель проекта, ГНС | PhD, ассоц.проф., . Scopus AU-ID: 55817472800; ORCID: 0000-0002-4812-4104 Web of Science Researcher ID: AAD-8778-2021 |
| 2 | Ахтаева НазгульСмайлхановна. | Главный научный сотрудник (ГНС) | PhD, и.о. ассоц.проф. |
| 3 | Рысқан Айнұр Рысқанқызы. | Научный сотрудник (НС) | PhD, ст.преп. Scopus AU-ID: 57209534432 ORCID: 0000-0002-8764-4751 |
| 4 | Абдираманов Жанарс Алда-Онгарович. | Научный сотрудник (НС) | PhD докторант. Scopus AU-ID: 57219802387 |
| 5 | Баймурзаев Джомарт Джумаханович. | Научный сотрудник (НС) | магистр. |
| 6 | Адил Наурызбай. | Научный сотрудник (НС) | PhD докторант. |
Список публикаций за 2022.
- Baishemirov Zh., Berdyshev A., Ryskan A. Solution of a Boundary Value Problem with Mixed Conditions for a Four-Dimensional Degenerate Elliptic Equation. // Mathematics. 2022. 10(7), 1094; База: Scopus, SJR – 0,495, CiteScore–2,2; Percentile – 80. База: Web of Science IF – 2,258; Q1. https://doi.org/10.3390/math10071094
- Adil N., Berdyshev A.,Eshmatov B., Baishemirov Zh. Solvability and Volterra property of nonlocal problems for mixed fractional order diffusion-wave equation. // Boundary Value Problem. База: Web of Science IF – 1,793; Q1. (Сдано в печать).
- Бердышев А.С., Абдираманов Ж.А. Разностный аналог смешанной задачи для гиперболического уравнения с памятью // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 39.
- Адил Н., БердышевС., Эшматов Б.Э. Разрешимость нелокальной задачи для волнового уравнения дробного порядка // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 62.
- Бердышев А.С., Абдираманов Ж.А., Шавкаева Э.Э. Задачи с условием Бицадзе-Самарского для линейного гиперболического уравнения с памятью // Computational Models and Technologies: Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international conference, Editor-in-chief: Khudoyberganov M.U., September 16-17, 2022, Tashkent, Uzbekistan.-P. 93.
