Жоба өзектілігі. Айырым сұлбаларын құру және жетілдіру, орнықтылықты дәлелдеу және шешімнің жинақтылығын зерттеу бойынша зерттеулер әлемнің ірі ғылыми орталықтары мен жоғары оқу орындарында (атап айтқанда АҚШ, Ұлыбритания, Германия, Франция, Италия, Норвегия, Нидерланды, Испания, Ресей) жүргізілуде.
Әлемде жүргізілген заманауи ғылыми зерттеулердің нәтижесінде айырымдық сұлбаларын құру бойынша квазисызықтық теңдеулер жүйесінің үзіліссіз шешімдерін есептеу, олардың жинақтылығын дәлелдеу үшін бірқатар дәстүрлі емес ғылыми нәтижелер алынды: айырымдық сұлбалар үшін «мұздатылған коэффициенттер» әдісі негізделді, орнықтылықты зерттеудің энергетикалық әдісі дамытылды Ресей Ғылым академиясының Есептеу математикасы институты (РҒА ИВМ); монотондылық критерийін ескере отырып, анықталмаған коэффициенттер әдісін қолдануға негізделген гиперболалық типтегі теңдеулер мен жүйелерге жуықтаудың жоғары ретті сызықтық емес, монотонды сұлбаларын құру алгоритмі жасалды (РҒА жобалауды автоматтандыру институты); қозғалмалы аймақта тұрақты коэффициенттері бар гиперболалық жүйелер үшін энергетикалық әдісті қолдана отырып, аралас есепті шешу үшін априорлық бағалау алынады; айнымалыларды тиісті алмастырудан кейін айнымалы коэффициенттері бар гиперболалық теңдеулер жүйесі алынды. Бөліктеп қосындылау операторларының көмегімен (Summation-by-Parts) кеңістіктік координаттар бойынша тұрақты айырымдық сұлбасы алынды. (Швеция, Linköping University); тұрақты және айнымалы коэффициенттері бар біртекті шеттік есептер үшін теория құрылды, белгілі бір шеттік есептер үшін қатаң тұрақтылық теориясы құрылды (Adelphy College, Garden City, Brookhaven National laboratories, Upton, Нью-Йорк, АҚШ; University of Uppsala, Швеция); гиперболалық типтегі бір өлшемді сызықты емес теңдеулер үшін тікелей және кері есептердің қисындылығы зерттелді (Logo Alpen Adria Universität); екі өлшемді сызықтық гиперболалық жүйенің аралас есебінің орнықты шешімдерін құру үшін (айнымалы коэффициенттер жағдайында және кіші мүшелермен) Ляпунов функциясы құрылды және ол үшін априорлық баға алынды (University Pierre et Marie Curie, Париж, Universitè catholique Louvain, Louvain-la-Neuve, Бельгия); осы Заңның аналогы орындалатын параболалық және гиперболалық теңдеулер мен теңдеулер жүйелері үшін консервативті айырымдық сұлбалары салынды (Фудан университеті, Шанхай, Қытай); арнайы түрде ұсынылған сызықтық емес гиперболалық жүйелер үшін адекватты есептеу моделі құрылды, онда әртүрлі схемалардың орнықтылығы туралы теореманың дәлелі энергияның дискретті интегралын құруға негізделген (Ресей Ғылым академиясының Сібір филиалының математика институты; Өзбекстан Ұлттық университеті).
Бүгінгі таңда әлемде басым бағыттарда ғылыми-зерттеу жұмыстары кеңінен жүзеге асырылуда, оның ішінде: айнымалы коэффициенттері бар сызықтық екі өлшемді және одан да көп өлшемді гиперболалық жүйелерде аралас есептерді жуықтап шешу әдістерін әзірлеу; квазисызықты гиперболалық жүйелер үшін аралас есептерді сандық шешуге арналған есептеу әдістерінің орнықтылығын зерттеу.
Айырымдық схемаларының негізгі қасиеті ретінде өзіндік тәуелсіз зерттеу саласы болып табылады. Қазіргі уақытта Математикалық физиканың сызықтық есептері үшін айырымдық сұлбаларының теориясы жеткілікті түрде дамыған. Монотонды айырымдық сұлбалары гиперболалық типтегі теңдеулер жүйесін сандық шешуде маңызды рөл атқарады.
Бүгінгі күнге дейін гиперболалық жүйелерді шекаралық басқарудың аралас мәселесін сандық есептеуге болатын сандық әдісті әзірлеу мәселесі әлі қарастырылмаған. Бұл-осы жобаның негізгі міндеті. Басқару есебіне шекаралық жағдайларда басқару функциясын енгізу арқылы қол жеткізіледі, яғни орнықтылықты шекаралық басқару әдісі деп аталады. Жоғарыда айтылғандардың барлығы жобаның өзектілігін анықтайды.
Жоба мақсаты. Жобаның мақсаты-диссипативті шекаралық шарттары бар симметриялық t-гиперболалық жүйені шекаралық басқарудың аралас мәселесін сандық есептеуге болатын сандық әдістерді әзірлеу. Бұған шекаралық жағдайларда басқару функциясын енгізу арқылы қол жеткізіледі, яғни шекаралық басқару әдісі деп аталады.
Журналдарда жарияланған мақалалар (Жарияланымдар тізімі)
- Berdyshev A, Aloev R, Abdiramanov Z, Ovlayeva M. An Explicit–Implicit Upwind Difference Splitting Scheme in Directions for a Mixed Boundary Control Problem for a Two-Dimensional Symmetric t-Hyperbolic System / Symmetry 2023, 15, (10):1863. (WoS: CiteScore – Q1 (General Mathematics); Scopus – 93) https://doi.org/10.3390/sym15101863
- Abdiramanov Zh., Berdyshev A., Aloev R. Investigation of the exponential stability of a numerical solution of a mixed problem for the shallow water equation. 5th International Conference on Problems of Cybernetics and Informatics (PCI 2023). Abstracts, pp. 119-120. Baku, Azerbaidzhan.
- Абдираманов Ж., Бердышев А. Устойчивость численного решения разностной задачи для уравнения Сен-Венана. Тезисы докладов VII Всемирного Конгресса математиков тюркского мира (TWMS Congress-2023). с. 457. 20-23 сентября 2023 г. Туркестан, Казахстан.
Келесі халықаралық ғылыми форумдарда баяндамалар жасалды:
– «5th International Conference on Problems of Cybernetics and Informatics (PCI 2023)»халықаралық конференциясы. 2023 жылғы 28-30 тамыз Баку, Әзірбайжан;
– Түркі әлемі математиктерінің VII Дүниежүзілік Конгресі (TWMS Congress-2023). 2023 жылғы 20-23 қыркүйек Түркістан, Қазақстан.